Подвижки в ГАИ не странные, а вполне логичные. Они же не требовали, а просили. А везти или нет - это Вам решать, все зависит от сложившихся отношений с ГАИ. Зачем им нужны акты? Не утверждаю, а только предполагаю. Смотрите сами: техконтроль сейчас проводится как на "полностью частных" станциях, так и на станциях "с участием инспекторов ГАИ". Вот у меня в регионе техконтроль без ТС на частной станции мне предлагают за 170 (официальная часть) + 450 (за неучатие ТС) итого 620. На станции "с инспектором" та же процедура стоит 900. Причем перевозчикам "рекомендовано" проходить техконтроль именно на станции "с инспектором", в противном случае обещаны карательные меры.
Так что сейчас, несмотря на всю демократизацию нашего общества, по-прежнему многое решают такие аспекты, как админресурс, корпоративная этика и телефонное право.
По поводу ОСАГО без ТО либо техконтроля. Серьезные страховые компании выдают полис исключительно в пределах срока действия техконтроля, но находятся и такие, которые действительно на него закрывают глаза. Оформлять или нет - личное дело каждого. Просто имейте в виду, что при наступлении страхового случая у страховой компании будет железнейший повод отказать в выплате, поскольку полис оформлен с грубейшим нарушением законодательства.